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姓名：麻希南 地址：中华人民共和国安徽省合肥市，230026， 中国科学技术大学东校区， 数学科学学院，数学系，管理科研楼1419， 电话：+86 551-63607114 电子邮箱：xinan@ustc.edu.cn 研究方向：非线性椭圆偏微分方程与几何分析 |
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教育经历： 杭州大学 (现在是浙江大学)，1985年9月 - 1987年6月，博士，1991年9月 - 1996年6月，导师：王斯雷教授. 职业经历： 1996年7月 - 1998年6月：华东师范大学数学系 博士后. 1998年7月 - 2003年7月：华东师范大学数学系 副教授. 2003年8月 - 2005年7月：华东师范大学数学系 教授. 2005年8月 至今：中国科学技术大学数学科学学院 教授. 中法数学班： 从2019年1月起：麻希南任中国科学技术大学中法数学班中方负责人，麻小南教授任中法数学班法方负责人。. 中国科学技术大学中法数学英才班（China-France Mathematics Talents Class） 教学： 2025年春季学期，现代偏微分方程。参考书：L. C. Evans《Partial Differential Equations》第2版，第5、6、7章。 代表性成果： \(k\)-Hessian方程是一类重要的完全非线性椭圆方程，当\(k=n\)，该方程为经典的Monge-Ampere方程；而当\(k=1\)时，则对应于标准的拉普拉斯算子。 一、Christoffel-Minkowski 问题与偏微分方程解及其等位面的凸性。 发展了非线性椭圆与抛物方程凸解的常秩定理并给出几何应用。常秩定理起源于Caffarelli-Friedman（1985）观察到的一个现象：如果半线性椭圆方程的解是凸函数，那么在方程满足一定条件下其解的Hessian矩阵在区域上常秩。Korevaar（1991）得到如果其解的等位面是凸的，那么在方程满足一定条件下其等位面的第二基本形式在区域上常秩。 Christoffel-Minkowski 问题是凸体中的预定面积测度问题，是寻找在单位外法向具有预定主曲率半径的\(k\)阶基本对称多项式的凸超曲面，它对应于球面上一个完全非线性椭圆方程凸解的存在性问题。Alexandrov在1937年证明了凸解的唯一性，Pogorelov在1975年给出过一个小扰动解的存在性。其一个端点情形对应于Minkowski 问题，它已被Pogorelov和郑绍远－丘成桐在1970年代完全解决。另一个端点情形是Christoffel问题, 已经被Firey于1960年代完全解决。论文【5】（序号对应论文出版一栏，下同）给出了Christoffel-Minkowski 问题的充分条件，证明的关键是他们建立的常秩定理：如果非线性\(k\)-Hessian方程的解是凸的，则方程在满足一定条件下其解的Hessian矩阵在区域上是常秩的，然后利用形变办法对此问题给出了非常一般的凸解存在的几乎最优充分条件（见【5】注5.2）。 如果不要求球面上\(k\)-Hessian方程的解是凸，即只关心椭圆\(k\)-允许解的存在性，那么问题的难点是解的有界估计。论文【9】利用先验估计加爆破分析得到有界估计，从而给出\(k\)-允许解存在性，并研究了Hessian商方程的常秩定理及其凸解存在性。论文【11】中通过引进新辅助函数，对于主部是未知函数Hessian矩阵特征值的对称函数的完全非线性椭圆与抛物方程，建立了其凸解的常秩定理，并且给出了几何应用。 对高维凸区域的格林函数，Caratheodory，Gabriel，Lewis（1977）证明其等位面是严格凸的。在二维时，Talenti（1983）证明了其凸等位面的曲率在边界取极小值。论文【19】给出了高维调和函数凸水平集的高斯曲率的最优下界估计，它只依赖于边界的高斯曲率和调和函数边界梯度模的上下界。 论文【39】中建立了热方程解的时空凸等位面的常秩定理，他们发展了新的证明思想，即先证明空间凸等位面的常秩性质，再利用它并结合高度技巧性的推导进一步得到时空凸等位面的常秩定理，同时给出了几何应用，它有助于理解抛物方程的水平集几何性质。 二、最优传输问题的正则性与\(k\)-Hessian方程Neumann问题解的存在性。 论文【8】给出了Caffarelli和Villani在2002-2003年间提出的最优传输正则性问题的答案，论文【37】解决了Trudinger在1987年提出的严格凸区域中k-Hessian方程Neumann问题解的存在性猜想。最优传输边值问题属于斜导数边值问题，Neumann问题是斜导数问题重要的特殊情形。 最优传输问题是由Monge于1781年提出的，它归结为寻找最优的从一个质量分布到另一质量分布的映射，使得成本泛函在所有的保测度映射中为极小，当成本泛函为严格凸时，唯一的最优映射由位势函数的梯度所决定。当成本函数为距离平方时它转化成经典的Monge-Ampère方程，其边值条件是解的梯度映射将一个严格凸区域映到另一个严格凸区域。其正则性由Urbas以及Caffarelli（1996）所发展。当成本函数为一般凸函数\(c(x,y)\)时位势函数满足完全非线性的Monge-Ampere型方程, 在Caffarelli于2002年的ICM一小时报告以及Villani于2003年的专著《Topics in Optimal Transport》中，都将这个问题光滑解的存在性列为他们最关注的问题。 论文【8】引进了区域的\(c\)-凸性概念和一个包含成本函数c的四阶导数的几何量。当此几何量非负时，他们得到了位势函数的内部正则性，回答了Caffarelli和Villani的问题，其后Loeper (2009) 证明了【8】中的几何量非负也是位势函数正则性的必要条件。在黎曼流形上，【8】定义的几何量被称为Ma-Trudinger-Wang张量，它现在是本研究领域的基本量,简称MTW张量。Ambrosio(2010)指出：由于与黎曼几何的关系，MTW张量是一个具有独立研究兴趣的主题。 \(k\)-Hessian方程是一类重要的非线性椭圆方程，当\(k=n\) 时它是Monge-Ampere方程而\(k=1\)时为通常的拉普拉斯算子。 Caffarelli-Nirenberg-Spruck（1984-1985）建立了Monge-Ampere方程和\(k\)-Hessian方程在区域有凸性条件时Dirichlet问题经典解的存在性理论。 Lions-Trudinger-Urbas（1986）证明了凸区域上Monge-Ampere方程的Neumann问题可解性。Trudinger (Bull. Aust. M. S. 1987)得到了球上\(k\)-Hessian方程的Neumann问题的存在性, 并且提出严格凸区域中\(k\)-Hessian方程的Neumann问题存在整体光滑解的猜想。通过引进两个新的辅助函数，论文【37】解决了Trudinger 1987年提出的上述猜想。 三、Kähler几何与柯西-黎曼（CR）几何中的非线性椭圆方程。 丘成桐在1978年通过解紧Kähler流形上的复Monge-Ampere方程证明了Calabi猜想。论文【18】建立了紧Kähler流形上\(k\)-Hessian方程的依赖于解的梯度模长平方的二阶导数先验估计，并且提到了用此估计加上\(\mathbb C^n\)上的一个Liouville定理可以得到梯度估计（【18】第549页）以及解的存在性。Dinew-Kolodziej（2017）得到了\(\mathbb C^n\)上的一个非线性退化方程的Liouville定理，从而给出了紧Kähler流形上\(k\)-Hessian方程解的存在性。【18】的二阶估计技巧在复几何的研究中被广泛应用，Phong- Picard-Zhang（Inven.Math. ,209（2），2017，第545页）指出Hou–Ma–Wu型估计是复几何中多个方程可解性的关键元素。 Obata在1971年研究标准球面度量的共形类中的常数量曲率度量，证明此度量与标准度量至多相差一个共形微分同胚。通过球极投影它和\(\mathbb R^n\)中具有临界Sobolev指标的半线性椭圆方程相对应，Caffarelli-Gidas-Spruck（1989）对解做了完全分类。对\(\mathbb R^n\)中次临界指标的半线性椭圆方程，Gidas-Spruck（1981）得到零为唯一非负解，它们在半线性椭圆方程的研究中起到重要作用。\(\mathbb R^n\)的CR对应是Heisenberg群\(\mathbb H^n\)，受CR Yamabe问题的启发，Jerison-Lee（1988）得到了Obata定理在CR几何上的一个推广，并在一定前提下，对Heisenberg群上临界Sobolev指标半线性亚椭圆方程的解做了分类即给出了\(\mathbb H^n\)上Sobolev不等式的最佳常数与极值函数。论文【45】中得到了上述Gidas-Spruck结果在Heisenberg群上的对应，即\(\mathbb H^n\)上次临界指标的半线性亚椭圆方程零为其唯一非负解，办法是引进新的向量场并做精细的积分估计,论文【51,52,59】是此类技术的后续发展。 奖项： 2004，霍英东基金会研究奖. 2011，国家杰出青年基金. 2013，教育部长江学者. 已毕业的博士生：
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