P.236 Ex. 12 Buckingham pi theorem

(a) 假设系统有n个基本量和m个测量量

在一组基本单位下，测量值，其中为数值

在另一组单位下，测量值，其中为数值

考虑到，从旧单位制到新单位制下每个单位分别缩小倍，即，

因此：，即

因为关联测量值的函数关系

                                                                                         (1)

是完全的，我们有，所以：

                                     (2)

(b) 将(2)式对求偏导数：

式中，的下标表示对第个变量的偏导数。

取，我们有：

                                                                     (3)

(c) 假设，引进新的自变量：

,                                                                       (4)

因此：

,                                                                                         (5)

式中：

,                                                              (6)

则有：

即：

代入(3)式，我们有：

,                                                                                               (7)

式中，的下标表示对第个变量的偏导数。

由

可见对于第一个基本量来说，所有的量具有的量纲指数为1。

(d) 引进另一组新的自变量：

,                                                (8)

即

所以

因而

,                                                                                             (9)

式中，。                                         (10)

则有：

由

可见对于第一个基本量来说，所有的量是无量纲的。

即，(9)式中包含m-1个对于第一个基本量的量纲指数为0的自变量和1个对于第一个自变量的量纲指数为1的自变量。

(e) 若某些或全部都为零。

不妨设第p个为零，即。

对于(c)，我们取，其他不变，那么

对于(3)式，因为，所以第p项为零。因此(7)改写为，即。

对于(d)，我们取，其他不变。

对于有更多的为零，只要做上述修改即可。

若，我们任意在中取一个不为零的来代替(d)中相应运算即可。

如果全部都为零，那么意味着第1个基本量不在系统中出现，亦即系统可以少一个基本量，我们把这个基本量从系统中去掉，从(a)重新分析问题即可。

(f) 如上，亦即与无关，那么的自变量可以去掉，我们改写成，即有。

因为对于第一个基本量的量纲指数为0，所以类似的我们重复上面的步骤直到第n次，此时我们仍有m-n个自变量，这些变量对于n个基本量的量纲指数均为0，亦即它们是由的幂次组成的无量纲参数。而和这m-n个自变量关联的方程为：

,                                                                                  (11)

@USTC© Created by Zhijun Zheng in 2005. Revised by Zhijun Zheng on Dec. 8, 2006.