P381Ex6 多重尺度法

考虑如下问题：

如何选择多重尺度来展开？

记，则

式子左边三项的量级分别为：

第一项和第二项相当，有：，

此时第三项的量阶与其他两项相比不可忽略

由此说明尺度不一定需要。

第二项和第三项相当，有：，

此时第一项的量阶与其他两项相比不可忽略

由此说明尺度不一定需要。

第一项和第三项相当，有：，

此时第二项的量阶与其他两项相比可忽略

由此说明尺度一定需要。

因此，问题至少存在一重尺度。

我们记多重尺度的独立变量：

相应的多重展开式写作：

即

如果采用两重尺度展开：

则：

还有：

有界性要求：

边条件：

得到首阶近似：

如果采用三重尺度展开：

则：

还有：

以及：

因此：

边条件：

得到首阶近似：

…

可以和精确解：

比较一下（略）。