\documentclass[a4paper,11pt]{ctexart}
\setlength{\textwidth}{6.5in}
\setlength{\textheight}{9.5in}
\setlength{\topmargin}{-0.25in}
\setlength{\oddsidemargin}{0in}
\setlength{\evensidemargin}{0in}

%\title{Lec2: ��ҵ}
%\author{}
%\date{}
\usepackage{etoolbox}
\makeatletter
\preto{\@verbatim}{\topsep=0pt \partopsep=0pt }
\makeatother
\BeforeBeginEnvironment{verbatim}{\def\baselinestretch{1}}
\usepackage{enumitem}
\setlist[enumerate]{itemsep=0mm}

\begin{document}
%\maketitle

\pagestyle{empty}
\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\textwidth}{1pt}}

��: һ���Զ�ϴ�»�������Ϊһ���Ʒ�ṩ��������ɫ: A, B �� C. �������� 100
��ϴ�»�����40̨��ɫΪA. �ݴ��ܷ�ó�������ϲ����ɫA�Ľ���?

\textbf{��}:��$p$Ϊ������ϲ����ɫA�ĸ���, $X$��ʾ100����������ϲ��A��ɫ������. ��������߶���ɫû��ƫ��, ��$p=1/3$, ����$p>1/3$.
��˿���ʹ�ö�������������������Ƿ�ƫ��A��ɫ.
 \begin{enumerate}
   \item \textbf{Hypotheses:} $H_0:p=1/3\leftrightarrow H_1: p>1/3$
   \item \textbf{Assumptions:} ���������, $X\sim B(100, 1/3)$
   \item \textbf{Test statistic:} ����ͳ����Ϊ$X$, ��$n=100$, �ʿ���ʹ����̬�ƽ���������$p$ֵ. ������$H_0$��
     $$z_{obs}=\frac{X_{obs}-np-0.5}{\sqrt{np(1-p)}}=\frac{39.5-100/3}{\sqrt{100(\frac13)(\frac23)}}=1.3081$$
     ���$z_{obs}$����������$H_1$.
   \item \textbf{p value:} $p=P(X\ge 40)\approx P(Z\ge z_{obs}|H_0)=0.0954.$
   \item \textbf{Decision:} ����$p$ֵ$=0.0954>0.05$, ���ǲ��ܾܾ������$H_0$, �ʽ��������, ����Ϊ�����߶���ɫAû��ƫ��. ������$p$ֵ��0.0954, ֧��������֤�ݲ����ǳ�ǿ��.
 \end{enumerate}
\textbf{in R}
\begin{verbatim}
> n=100
> p0=1/3
> x=40
> binom.test(x,n,p0,alt="greater",0.95)

> z10=(x-0.5-n*p0)/sqrt(n*p0*(1-p0))
> sp=x/n
> z20=(sp-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/n)
> p.value.exact=pbinom(x-1,n,p0,lower.tail=F) # exact p-value
> p.value.norm=pnorm(z10,lower.tail=F) #normal approx.
> p.value.ztest=pnorm(z20,lower.tail=F) #z.test
> c(sp,z10,z20)
[1] 0.400000 1.308148 1.414214
> c(p.value.exact,p.value.norm,p.value.ztest)
[1] 0.09662307 0.09541163 0.07864960
\end{verbatim}
\textbf{ע:}
\begin{enumerate} 
  \item ��Ϊ$p$��95\%�������������$p_0=1/3$, �ʽ���$H_0$
  \item binom.test�����$p$ֵ�Ǿ�ȷֵ, �䲻ͬ����̬�ƽ��ʹ�����$z$����õ���$p$ֵ
  \item ��$n>25$ʱ,$z$-test ����ͳ����Ϊ
  $$z=\frac{X-np_0}{\sqrt{np_0(1-p_0)}}$$
\end{enumerate}
\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\textwidth}{1pt}} 

\newpage
\centerline{\bf\large ϰ��}
 
\begin{enumerate}
  \item ��һ�ΰ�ȫ�»��, �������16��������6���ǲ���ȫ��, ����������ˮƽ0.05�¼������"��Щ�����в�����10\%�ĳ��ǲ���ȫ��".
  \item ���Ƕ���ֲ�$T\sim Bin(n,p)$�µ�˫�߼����������$H_0:p=p_0\leftrightarrow H_1: p\ne p_0$, ������Ȼ�ȼ���, Score �����Wald ����ͳ����. ����
  $p_0=0.5, n=10, T=2$�±Ƚ������ּ���.
  \item ĳѧУ�������꼶ѧ�����������20�˵�����(��λ: ����), �õ�  
  
  \texttt{71, 67, 49, 59.5, 65.5, 51.5, 77, 61, 46.5, 68.5, 43, 59.5, 80.5,\\
  77, 79, 82.5, 40.5, 58.5, 64, 51.5}
  
  ����������ˮƽ0.05��, �������¼���
   
    (1) ���ص���λ����51.5.
    
    (2) 95\%��λ��������75.
    
    (3) 30\%��λ��С�ڵ���45.
    
  \item ���ĳʳƷ���22���˿�Ʒ���׺������ֵ��Ĳ�ѡ��ϲ����Ʒ��. 7���˿�ϲ����Ʒ��,12���˿�ϲ����Ʒ��,3���˿�û���ر�ƫ��. ����������ˮƽ0.05��, ���ܷ�
  ˵���˿�������ƫ�ò���?
\end{enumerate}

\end{document}