代数I（中法班大一）

这是一门为中法数学英才班设置的课程。是一年级的代数课程。使用法国原版预科教材。本课程配有每周4学时的习题课（Travaux Dirigés简称TD）以及一学期至少一次的口试训练（Colles）。

除教材外，参考书：
《线性空间引论》陈恭亮、叶明训、郑延履
《Cours De Mathématiques Du Premier Cycle》 Jacques Dixmier

参考法国预科一年级的2013版标准教纲，结合国内的教学情况，中法班委员会拟定了一份中法试验班的教纲。中法班的教学将保证至少覆盖标准教纲并尽量完成中法班教纲。具体教学内容和教学进度会根据学生学习状况反馈及时调整，而并不是盲目遵循预设的教纲，随后的教纲 根据教学经验结合实际调整。所以请同学们积极反馈，我们希望收集各类意见让中法班变得更好，可以以书面形式，发邮件，发微信或者写纸条给任何一位任课老师。

上课地点：5506
上课时间：2-18周，周一34节、周三67节
习题课时间：周二67节、周四89节（曹阳）

这是一门为中法数学英才班设置的课程。是一年级的代数课程。本课程和相应的分析课程使用法国原版预科教材。本课程配有每周4学时的习题课（Travaux Dirigés简称TD，由曹阳老师负责）以及一学期2次的口试训练（Colles）。

除教材外，参考书：
《线性空间引论》陈恭亮、叶明训、郑延履
《Cours De Mathématiques Du Premier Cycle》 Jacques Dixmier

参考法国预科一年级的2013版标准教纲，结合国内的教学情况，中法班委员会拟定了一份中法试验班的教纲。中法班的教学将保证至少覆盖标准教纲并尽量完成中法班教纲。具体教学内容和教学进度会根据学生学习状况反馈及时调整，而并不是盲目遵循预设的教纲，随后的教纲也会根据第一年的教学经验结合实际调整。所以请同学们积极反馈，我们希望收集各类意见让中法班变得更好，最好以书面形式，发邮件或者写纸条给任何一位任课老师。

上课地点：5506
上课时间：1-18周，周一34节、周三34节
习题课、口试：曹阳

下学期报告次序安排 周二晚上5106

1-杨笑东 3.9
题目：Dyson Brownian motion
摘要：Over the decades, stochastic analysis theory and random matrix theory both witnessed astonishing developments. As a combination of both two theories, Dyson Brownian motion describes the evolutionary propertis of some matrix-valued stochastic process, serving as the most fundamental model in exploring dynamical propositions of random matrices. At first, this model was intriduced in statistical physics, to characterize Comlumb gas model. In this talk, we will briefly review the basics of Brownian motion and basics of stochastic analysis, and then explore fundamental results of Dyson Brownian motion.

2-杨小鼎 3.16
题目：极小曲面
1：对上节课的回顾与引入极小曲面方程。
2：用shauder不动点定理将方程的解转化为有界估计。
3：方程的holder估计。
4：方程的梯度估计。

3-郭龙欣 2.23
题目:Local Cohomology
摘要:Last time we introduced the geometric aspect of local cohomology, as the right derived functors of the section functor with locally closed supports. This time we will introduce the algebraic aspect of it, as the right derived functors of the α-torsion functor.

4-宋晨锴 3.30
题目：The square peg problem and the rectangular peg problem
摘要：Last time we learned the history of the Square Peg Problem and the Rectangular Peg Problem. This time we will go through Joshua Evan Greene and Andrew Lobb’s proof of the Rectangular Peg Problem for smooth Jordan curves. I will introduce some basic concepts in symplectic topology first to help us understand the proof.

5-田珺昊 4.6
题目：Kahler-Ricci流的奇点分析问题。
摘要：Ricci流是几何分析领域的重要问题，自Hamilton与Perelman创造并发展至今，解决了包括庞加莱猜想在内的诸多重要问题。一般黎曼流形的Ricci流复杂性极高，我们目前对它的研究只停留在三维，四维及以上的Ricci流仍束手无策。而在Kahler几何中，Ricci流的表现形式相对简单，这使得我们有希望对其进行进一步的研究。尤其是在近十年里，得益于非线性DPE与复代数几何的发展，Kahler-Ricci流取得了一系列重要突破。本次华罗庚讨论班我将主要讲解：利用上同调类刻画Kahler-Ricci流的极大解区间；分别在“坍缩”与“非坍缩”情形下，描述有限时间奇点的极限度量与相关性质；利用复代数几何和Kahler势函数的偏零阶估计，探索长时间解下的度量收敛性问题。最后介绍一下Kahler-Ricci流的最新进展与一些猜想：直径与体积的增长估计，奇点类型的分类问题，等等。（注：本次华讨与我上学期所讲的内容没有直接关联，是两个不同的问题。）
指导老师：王兵、王振建

6-周泽君 4.13
标题：顶点代数
摘要：顶点代数的概念最早由Richard Borcherds引入，来源于二维量子场论。顶点代数被用来证明魔群月光猜想，在共形场论、李群表示论中也有应用。
本次讲座介绍顶点代数的基本定义和演算方法，并给出具体的顶点代数的例子。

7-周佳诺 4.20
标题：Morita Theory and its derived version
摘要：Classic Morita theory investigates conditions under which two rings have equivalent module categories. Derived Morita theory is a generalization of classic Morita theory motivated by representation theory, studying instead conditions under which two rings have triangle equivalent derived categories. This talk goes over the proofs of the main theorem of both theories.
指导老师：陈小伍

8-叶子恺 4.25（周日，五一放假调休）
题目：Propagation of smallness of solutions to Elliptic Equations
摘要：In this lecture, we will use the tool of frequency to prove a general version of Hadamard three circle theorem in complex analysis, called the propagation of smallness property of solutions to elliptic equations, which gives a quantitative characterization of unique continuation. As a corollary, we will derive Donnelly and Fefferman's estimate on doubling index and another estimate, which were mentioned in last lecture.

9-郑伟豪 4.27
题目：Morse theory
摘要：Last time we introduced the basic theory of Morse and gave some examples. This lecture will be divide into two parts. First I will show how to apply Morse theory to get the homotopy type of path space in Riemannian manifold. Second, as an application, I will show the Bott periodic Theorem for the unitary group.

10-王玺斌 5.11
标题：From congruent numbers to elliptic curves
摘要：The congruent number problen was first posed more than a thousand years ago, and it is still not completely solved. In this lecture I will introduce how to transform the congruent number problem into an elliptic curve problem.

11-付杰 5.18
题目：A brief introduction to Hamiltonian system
摘要：This time, I will use something introduced last time to give an brief introduction to Hamiltonian system, which has some connection to physics.
指导老师：赵立丰

12-姚一晨 5.25
题目：Dynamics on Quotients of the hyperbolic plane
摘要：In this talk, we will identify the tangent bundle of the hyperbolic plane with the Lie group PSL2(R), then discuss Hopf’s argument for ergodicity of geodesic flow on PSL2(Z)\PSL2(R). Further, we will give a more general result for ergodic systems on lattices of PSL2(R), and have a quick view at its applications on some concrete lattices.

13-丁楠 6.1
题目：Szemerédi定理中的Furstenburg多元回归性
摘要：Szemerédi定理叙述了一个具有正的banach密度的正整数集必然包含任意长度的等差数列。Furstenburg于1977年利用测度动力系统的方法给出了Szemerédi定理的另一个证明。本次报告将着重于该证明并展示更进一步的结论。
指导老师：黄文

14-赵炜 6.8
题目：The Willmore Conjecture (Ⅱ)
摘要：The Willmore conjecture was proven by Marques and Neves in 2012. This time I will introduce the framework of their proof.

15-陈恒宇 6.15
题目：Topology of the Manifolds with all Geodesics Closed
摘要：If you ask: which manifolds admits a Riemannian metric, such that the geodesics are periodic and of the same length? Then Compact Symmetric Spaces of Rank one (CROSS) will raise their hands. Although far from determining such manifolds, R. Bott and H. Samelson told us: their integral cohomology rings must be the same as CROSS. We will discuss a proof using Morse theory as well as related results.
　

特邀报告：
4月28日周三 16:00-18:00 地点：5107 李欣意（北京大学）[概率论、统计物理] 相变、临界性与普适性
6月5日 周六 8:45-10:15 地点：5207 刘博 （华东师范大学）[拓扑、几何] 拓扑，几何与指标定理
因疫情推迟-时间地点待定 莫仲鹏（苏州大学）[数论]欧拉，无穷级数，与数论
摘要：在这个专题讲座里，报告人将会讲述，欧拉在无穷级数上的工作，如何揭示了后来数论上的重要发展，特别是 zeta函数和模形式等。

这是一门为中法数学英才班设置的课程。是一年级的代数课程。使用法国原版预科教材。本课程配有每周4学时的习题课（Travaux Dirigés简称TD）以及一学期至少一次的口试训练（Colles）。

除教材外，参考书：
《线性空间引论》陈恭亮、叶明训、郑延履
《Cours De Mathématiques Du Premier Cycle》 Jacques Dixmier

参考法国预科一年级的2013版标准教纲，结合国内的教学情况，中法班委员会拟定了一份中法试验班的教纲。中法班的教学将保证至少覆盖标准教纲并尽量完成中法班教纲。具体教学内容和教学进度会根据学生学习状况反馈及时调整，而并不是盲目遵循预设的教纲，随后的教纲也会根据第一年的教学经验结合实际调整。所以请同学们积极反馈，我们希望收集各类意见让中法班变得更好，最好以书面形式，发邮件或者写纸条给任何一位任课老师。

上课地点：5506
上课时间：2-18周，周一34节、周三67节
习题课时间：3-18周，周二67节、周四89节（许金兴/曹阳）

1-18周，周一晚上（19：00开始上课），(5507教室)
选课的学生或者想旁听的学生请联系我并加入课程微信群，日后会在群里发布课程相关的信息。

LaTeX beamer的一个例子/模板

特邀报告：
9.14 王国祯（复旦大学）[拓扑] 广义Poincare猜想简介
9.23 黄冠（清华大学）[动力系统] 弹子球系统：一些典型的动力系统现象及相关的反问题
9.28 章志飞（北京大学）[流体力学、偏微分方程] 流体力学中的偏微分方程问题
10.12 魏巧玲（首都师范大学）[动力系统] 听音辨鼓：平面区域的反谱问题
10.19 安金鹏（北京大学）[动力系统、李群、数论] 齐性动力系统简介
10.26 调课到10.30 于品（清华大学）[偏微分方程、相对论] 波动方程和时空的几何 -  清华学堂班访问中科大活动
11.9 郑维喆（中科院数学所）[数论、代数几何、算术几何] Weil猜想漫谈
11.30 常寅山（四川大学）[概率论] 随机图上的极小生成树
12.7 江智（复旦大学）[复代数几何] Hodge猜想
12.13(周日晚19:00-21:00，5107教室) 李平（同济大学）[几何、组合]从Log-concavity谈起
12.30(周三晚19:15-20:15，5201) 谢俊逸（CNRS Rennes）[代数几何、动力系统]代数动力系统中的复杂性
12.30(周三晚20:30-21:30，5201) 杨若涛（俄罗斯Skoltech研究所）[数论]从二次互反律到量子朗兰兹
　

12.30（周三8910节，15：45-17：00左右，5506）华罗庚班-中法班 联合活动：浪迹天涯的师兄们 座谈会

学生报告
10.31
田珺昊 Calabi-Yau Theory [指导老师：王兵]
Calabi猜想是关于Kahler流形上存在某种“好”的黎曼度量的猜想，自1954年Eugenio Calabi提出后一直是悬而未决的数学难题，1977年丘成桐先生首次给出了Monge-Ampere方程的二阶估计，并解决了第一陈类非正时Kahler-Einstein度量的存在性。1997年田刚提出K-稳定的概念，并证明Fano流形上Kahler-Einstein度量存在一定K-稳定。2012年陈秀雄，孙崧，Donaldson证明了其逆命题也正确。陈秀雄，王兵于2014年给出了Kahler-Einstein度量存在性的Ricci流方法的证明，解决了Kahler-Ricci流中的Hamilton-Tian猜想。目前关于cscK度量存在性的研究仍是Kahler几何的核心问题之一，陈秀雄于2018年开创性地给出了Kahler势函数在cscK某种假设下的先验估计，并证明了cscK的存在性与测地稳定等价。本次报告主要介绍，丘成桐与曹怀东分别利用连续性方法与Ricci流方法证明Calabi猜想，Monge-Ampere方程的估计，以及Kahler-Einstein度量与cscK度量研究的最新进展。

11.2
周泽君 Morse理论 [指导老师：杨迪]
Morse函数是流形上的一类特殊的光滑函数，通过研究它的临界点的性质可以确定流形的同伦类型。本报告将介绍这一方法的具体原理。

杨小鼎 Planteaus minimal submanifolds problem [指导老师：张永兵]
摘要：1:the Douglas Rado solution of the problem on the euclidean space
2:an introduction to the unsolved part of this problem.

11.16
姚一晨 Ergodic Theorems[指导老师：黄文]
摘要：遍历理论主要研究特定对象在保测度映射下的轨道的性质，也就是该对象随时间变化的性质。平均遍历定理和Birkhoff的逐点遍历定理分别描述了可测函数f随时间的平均值在L^2和在逐点意义下的极限。本次报告从保测度映射的定义开始，讲述这两个定理的证明以及它们在概率论和数论中的两个简单应用。

11.23
郭龙欣 Local Cohomology[指导老师：申伊塃]
摘要：Cohomology is a powerful tool in mathmatics, while localization is a significant method for mathmatics. Local cohomology was invited by Grothendick to prove Lefschetz-type theorem in algebraic geometry, and it has widely applications in various fields. This lecture aims at a geometric introduction to local cohomology.

周佳诺 Homotopical Algebra[指导老师：陈小伍]
摘要：Model categories are categories equipped with a model structure: three subsets of morphisms satisfying certain conditions. These conditions make it possible to "do homotopy" in arbitrary model categories in a similar way as doing homotopy in the category of topological spaces. This is what homotopical algebra is concerned with. Many categories that arise in practice, for example the category of topological spaces and categories of chain complexes, admit model structures. This makes homotopical algebra a useful tool in both topology and algebra. This talk will cover the definition and some basic properties of model categories and demonstrate how studying the model category of bounded below chain complexes of an abelian category yields some classical results in homological algebra.

12.14
洪放 平均曲率流初步[指导老师：韦勇]
摘要：平均曲率流是研究n+1维欧式空间的n维嵌入子流形的一个重要工具，在证明等周不等式以及推广的等周不等式中有重要应用，很多几何量在某类特定的平均曲率流下的演化具有很好的性质。本次报告将从平均曲率流的定义开始，并介绍一些几何量（如体积，表面积等）在流下的的演化。
　

叶子恺 Yau's Conjecture on Laplacian Eigenfunctions[指导老师：麻希南]
摘要：Shing-Tung Yau conjectured in 1982 that for any C^{\infty}-smooth closed (compact and without boundary) Riemannian manifold M^n, the n-1-dimensional Hausdorff measure of the nodal (zero) set of Laplacian eigenfunction on M is comparable to $\sqrt{\lambda}$, where $\lambda$ is the corresponding eigenvalue. The upper bound remains open now. The lecture will begin with basic knowledge of Laplaican eigenfunctions and their nodal sets. Then, we will show a sketch of proof of Yau's conjecture for analytic manifolds, which is given by Donnelly and Fefferman in 1988.

12.19（南京大学拔尖班交流）
丁楠 面积公式的证明[指导老师：任广斌]
摘要：面积公式是Hausdorff测度的应用之一。对于一个将R^n映射到R^m的李普希茨连续映射f，n和m之间的大小关系会带来本质上不同的两种分类。其中当m≥n时，面积公式为我们提供了计算f(A)的面积的方法，也就是在A上对f的雅可比行列式进行积分。本次报告将会着重于该面积公式的证明。

12.21
陈恒宇 Manifolds all of whose Geodesics are Closed: Basic Examples[指导老师：王作勤]
摘要：A Riemannian manifold all of whose geodesics are simple and closed with least common period is called an SC-manifold. First examples include spheres and some projective spaces endowed with the canonical Riemannian metrics. In this report, after introducing some basic notions in Riemannian Geometry, we will meet our old friends and make friends with some non-standard SC-metrics on spheres.
　

杨笑东 随机矩阵的大偏差[指导老师：刘党政]
摘要：自上世纪中叶Wigner发现半圆率以来，随机矩阵理论已成为概率论中重要的研究对象，并与其他学科产生了深刻广泛的联系。本次报告将首先介绍Wigner半圆率，再简洁大偏差理论后，我们会陈述Gauss Wigner矩阵的一个大偏差结果，并简述其证明思路。

12.28
付杰 Basic ODE dynamics[指导老师：赵立丰]
摘要：This time, I will start from the dynamics corresponding to ODE, introduce some basic concepts that need to be introduced, and give some simple examples, so as to pave the way for the introduction of Dissipative dynamics and Hamiltonian dynamics next time.

王玺斌 Mordell-Weil Theorem[指导老师：欧阳毅]
摘要：Mordell-Weil theorem is the statement that the group of rational points on elliptic curves over the rational number field is always finitely generated. The proof is motivated by a close examination of Fermat's method of descent. In this report, we will give the definition of the group structure on the elliptic curve, and then show the proof by introducing a suitable notion of height.

1.4
洪放（1.5小时）Mean curvature type flow in space forms[指导老师：韦勇]
Last time we have introduced the concept of hypersurface in Euclidean space and mean curvature flow there. In this lecture we will generalize the outer space where the hypersurfaces lies from the Euclidean spaces to general manifolds, and define mean curvature flow there. Then, we will see the theory of hyperbolic equation can be used to handle flows in space forms (a type of "good" outer spaces). We will show a sketch of the proof that a smooth compact, star-shaped hypersurface in space forms will converge to sphere under a type of flow, which is given by Pengfei Guan and Junfang Li in 2014.

1.11
郑伟豪 Morse理论及应用[指导老师：杨迪]
摘要：本次报告承接上一次有关Morse理论的学生报告。我们将介绍Morse函数的存在性，并利用具体例子给出用Morse理论确定流形同伦类型的操作方法。

宋晨锴 The square peg problem and the rectangular peg problem[指导老师：王作勤]
摘要：In 1911, Otto Toeplitz asked whether every Jordan curve inscribes a square. It is called the Square Peg Problem and still remains open. The latest result is due to Terence Tao in 2017. In the report I will introduce some major results of the problem and share Vaughan’s proof of a weaker proposition in 1977: every Jordan curve inscribes a rectangle. And finally I’ll take a brief introduction of the Rectangular Peg Problem, which was proved to be positive for smooth Jordan curves by Joshua Evan Greene and Andrew Lobb last year.

赵炜 The Willmore Conjecture (Ⅰ)[指导老师：张希]
摘要：The Willmore conjecture is a famous problem in differential geometry. In 2012, Marques and Neves successfully proved the conjecture. This time I will introduce the history of Willmore conjecture and next time I will introduce the proof.
　

摘要：

介绍椭圆曲线相关的概念。围绕Mordell-Weil定理的证明，介绍椭圆曲线的相关知识，包括高度函数、Galois上同调、Tate-Shafarevich群、局部整体原则等。如果时间允许，还将简单介绍BSD猜想。

预备知识：近世代数（熟悉群、环、域等基本概念，如果了解Galois理论会更好，如果不了解：预计课程中会有一个简短的综述），代数数论（只需要最基础的知识，如果不了解：把课程中所有数域都看成有理数域Q并不妨碍理解课程内容），其他本科阶段的基础数学课程。

课程板书录屏：
(01)6.22 视频 （密码 5W*#4M8%）
(02)6.24 视频 （密码 3B==?o&G）
(03)6.29 视频 （密码 5Q#$6JK%）课堂上省略的某引理的详细证明（6月29日周一上课时间临时更改为上午9:30-11:00）
(04)7.01 视频 (密码 3A$9*0&D)
(05)7.06 视频 (密码 0j!qI^u4)
(06)7.08 视频 (密码 1M*e=273)
(07)7.13 视频 (密码 9D?=73%G)
(08)7.15 视频 (密码 8Z.Z&X9+)
(09)7.20 视频 (密码 2c$8n!8=)
(10)7.22 视频 (密码 J.D87V1g)　

这是一门为中法数学英才班设置的课程。是一年级的代数课程。本课程和相应的分析课程使用法国原版预科教材。本课程配有每周4学时的习题课（Travaux Dirigés简称TD，由许金兴老师负责）以及一学期2次的口试训练（Colles）。

除教材外，参考书：
《线性空间引论》陈恭亮、叶明训、郑延履
《Cours De Mathématiques Du Premier Cycle》 Jacques Dixmier

参考法国预科一年级的2013版标准教纲，结合国内的教学情况，中法班委员会拟定了一份中法试验班的教纲。中法班的教学将保证至少覆盖标准教纲并尽量完成中法班教纲。具体教学内容和教学进度会根据学生学习状况反馈及时调整，而并不是盲目遵循预设的教纲，随后的教纲也会根据第一年的教学经验结合实际调整。所以请同学们积极反馈，我们希望收集各类意见让中法班变得更好，最好以书面形式，发邮件或者写纸条给任何一位任课老师。

上课地点：5505
上课时间：1-18周，周一34节、周三67节
习题课和colle时间待安排　

代数学 （研究生-本研结合）
教材还是之前那本，我觉得写的不错，已经修改不少笔误，如果这学期有发现将继续更正。同学们发现错误了也请给我发邮件。不过这书即将要出版，出版后这个链接就会撤掉。

时间地点：2-18周，周二34和周四67，教室5206。英文教学，考试也是英文。习题课待安排。

内容：大概分三部分：交换代数、同调代数、表示论，三部分内容都不往深入讲，只讲最基本知识和概念。课程目的是培养基础数学研究生（无论哪个方向）都应该具备的基本代数素养。对于以后想学习/研究代数数论、代数几何、表示论的同学，这门课远远不足够，建议修其他老师开的专门的课程，应该会讲的比我深入。

这是一门为中法数学英才班设置的课程。是一年级的代数课程。本课程和相应的分析I课程使用法国原版预科教材，本学年由我把教材翻译成中文并负责代数学I的教学，殷浩老师负责分析学I的教学。本课程配有每周4学时的习题课（Travaux Dirigés简称TD，由许金兴老师负责）以及一学期3次的口试训练（Colles）。

除教材外，参考书：
《线性空间引论》陈恭亮、叶明训、郑延履
《Cours De Mathématiques Du Premier Cycle》 Jacques Dixmier

参考法国预科一年级的2013版标准教纲，结合国内的教学情况，中法班委员会拟定了一份中法试验班的教纲。中法班的教学将保证至少覆盖标准教纲并尽量完成中法班教纲。具体教学内容和教学进度会根据学生学习状况反馈及时调整，而并不是盲目遵循预设的教纲，随后的教纲也会根据第一年的教学经验结合实际调整。所以请同学们积极反馈，我们希望收集各类意见让中法班变得更好，最好以书面形式，发邮件或者写纸条给任何一位任课老师。

上课地点：5505
上课时间：2-18周，周一34节、周三67节
习题课时间：3-18周，周三晚上，周四67节