5. 期中考试：11月8日（周四）早上7：50-9：25，地点 3C201，3C302。

Lecture 1 课程概述 [Spivak II, Chap. 2]; 欧氏空间 [PC, Chap. 1]

Lecture 2 合同变换 [PC, Chap.1, ONeill, Chap. 3.1]; 向量场和1-形式 [ONeill，Chap. 1.2, 1.5]; 正则曲线 [PC, Chap. 2.1]

Lecture 3 平面曲线的密切圆和曲率 [Spivak II, pp. 1-6]; 平面曲线的Gauss映射、Frenet标架和带符号曲率 [PC, Chap. 2.2]

Lecture 4 平面曲线曲率的显式公式 [Spivak II, pp. 7-8]；平面曲线基本定理 [Spivak II, pp. 11]；空间曲线的密切圆和密切平面 [Spivak II, pp. 24-25]

Lecture 5 空间曲线的Frenet标架；曲率、挠率的计算公式和几何意义 [Spivak II, pp. 28-32]

Lecture 6 圆柱螺旋线；空间曲线基本定理 [Spivak II, pp. 34-35]

Lecture 7 正则曲面片；切平面和法线 [PC Chap. 3.1, ONeill Chap. 1.7, 4.1]

Lecture 8 一般旋转曲面；曲面的弯曲：高斯 1827 [Gauss, Spivak II, Chap. 2]

Lecture 9 曲面的第一基本形式；弧长，夹角和面积

Lecture 10 高斯曲率的精确定义，法曲率和欧拉公式[Spivak II,pp. 119-122; Chap.2]

Lecture 11 法曲率和第二基本形式

Lecture 12 Weingarten变换和主曲率（自共轭线性变换及其特征值）；高斯绝妙定理 [Spivak II, pp. 123-135]

Lecture 13 抽象曲面；旋转曲面的主方向、主曲率和高斯曲率 [Spivak III pp. 156-161]

Lecture 14 常高斯曲率的旋转面 [Spivak III, pp. 161-166]；直纹面 [Spivak III, Chap. 3, Section II]

Lecture 15 直纹可展面分类；曲面的局部外蕴几何。

Lecture 16 全脐点曲面；平均曲率和极小曲面。

Lecture 17 旋转极小曲面和直纹极小曲面分类。

     期中考试 (Lecture 1-16)

Lecture 18 曲面自然标架运动方程；曲面结构方程 （I）。

Lecture 19 曲面结构方程（II）；高斯方程的几何意义。

Lecture 20 Codazzi方程几何意义 ；曲面论基本定理。

Lecture 21 正交活动标架引论；正交活动标架运动方程。

Lecture 22 微分形式和外微分运算 [ONeill Chap 1.6, Chap 2.5-2.8, Chap 4.4]

Lecture 23 用正交活动标架研究曲面的结构方程。note 1; note 2

Lecture 24 内蕴几何引论；等距变换和保角变换。note 1

Lecture 25 测地线：弧长变分；测地曲率。note 1

Lecture 26 测地线方程；Liouville公式；协变导数。

Lecture 27 平行移动；福柯摆；测地坐标系。

Lecture 28 法坐标系；高斯引理；测地线局部最短性。

Lecture 29 常高斯曲率曲面；测地三角形内角和。

Lecture 30 局部Gauss-Bonnet公式。

Lecture 30 微分形式的积分；整体Gauss-Bonnet公式。

Lecture 31 整体Gauss-Bonnet定理欣赏；Willmore能量和Willmore猜想 [Willmore, MB_PRA]。

作业 1: 验证 [PC] 第4页，性质1.1；[PC] 习题一，4.

作业 2: [PC] 习题一，5；验证课堂上提到的性质。

作业 3: [PC] 习题二，1，8.

作业 4: [PC] 习题二，7, 13.

作业 5: [PC] 习题二，4(1), 5, 6, 11.

作业 6: [PC] 习题二，9，10，15，16.

作业 7: [PC] 习题三，1，3，4，5.

作业 8: 阅读高斯1827年文章曲面的一般研究的摘要，浏览全文.

   准则：: 好读书，不求甚解；每有会意，便欣然忘食.-----陶渊明

作业 9: [PC] 习题三，7，8，9，11.

作业 10: [PC] 习题三，12.

作业 11: [PC] 习题三，15, 17，18, 20.

作业 12: [PC] 习题三，25, 28, 29, 30.

作业 13: [PC] 习题三，21(2), 31.

作业 14: [PC] 习题三，32.

作业 15: [PC] 习题三，23，24.

作业 16: [PC] 习题三，26，27.

作业 17: [PC] 习题三，35.

作业 18: [PC] 习题四，1，2，4

作业 19: [PC] 习题四，3，5，9（1）

作业 20: [PC] 验证78页 （2.27）；习题四，8，11，12

作业 21: 证明第一、第二基本形式不依赖于正交活动标架的选取；[PC] 习题四，13

作业 22: 阅读 [ONeill]书的4.4节，完成 4.7 Example的证明；完成4.4节后的习题7.（书的pdf文档见下面Refereces的链接。）

作业 23: [PC] 习题四，14, 19, 20

作业 24: [PC] 习题五，2，3

作业 25: [PC] 习题五，10, 11

作业 26: [PC] 习题五，12，13

作业 27: [PC] 习题五，8，9

作业 28: [PC] 习题五，16，18

作业 29: [PC] 习题五，19，20

作业 29: [PC] 习题五，21

作业 30: [PC] 再读高斯1827年文章曲面的一般研究的摘要以及全文，感受自己功力的增长。

作业 31: [PC] 复习，准备期末考试。

[Gauss] 高斯 (C. F. Gauss), 曲面的一般研究：1827年和1825年= General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825. 高等教育出版社。

[PC] 彭家贵，陈卿，微分几何，高等教育出版社。

[Spivak II] Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, third edition, Publish or Perish.

[Spivak III] Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume III, third edition, Publish or Perish.

[ONeill] Barrett O'Neill, Elementary differential geometry, Academic Press. pdf file

[doC] M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Dover Publications, INC.

[Willmore] T. J. Willmore, Note on embedded surfaces, pdf file.

[MB_PRA] M. Mutz and D. Bensimon, Observation of toroidal vesicles, pdf file.

助教： 杨洪权 yanghq@mail.ustc.edu.cn；黎沫言 lmy1014@mail.ustc.edu.cn