5. 2018年1月11日(周四) 8：30--10：30，期末考试， 教室：3C102，3C103

Lecture 1 概述; 欧氏空间(I)

Lecture 2 欧氏空间(II); 正则曲线

Lecture 3 平面曲线的曲率

Lecture 4 平面曲线的基本定理; 空间曲线的Frenet标架

Lecture 5 空间曲线密切平面存在性；挠率的几何意义

Lecture 6 空间曲线基本定理

Lecture 7 正则曲面片的切平面和法线

Lecture 8 曲面的弯曲：高斯 1827

Lecture 9 第一基本形式

Lecture 10 高斯曲率：精确定义

Lecture 11 法曲率和第二基本形式

Lecture 12 第二基本形式: 高度函数Hessian和Weingarten变换

Lecture 13 高斯绝妙定理

Lecture 14 曲面的局部外蕴几何

Lecture 15 渐进方向；全脐点曲面

Lecture 16 旋转曲面

Lecture 17 极小曲面，直纹面，可展曲面

Lecture 18 曲面论基本定理引论；自然标架运动方程

     期中考试 (Lecture 1-17)

Lecture 19 Christoffel符号；曲面的结构方程

Lecture 20 曲面结构方程的几何意义

Lecture 21 曲面论基本定理；正交活动标架引论

Lecture 22 正交活动标架运动方程；外微分形式

Lecture 23 正交活动标架下的曲面结构方程

Lecture 24 内蕴几何引论；等距变换

Lecture 25 保角变换；测地线

Lecture 26 测地曲率；沿曲线的协变导数

Lecture 27 沿曲线的平行移动；福柯摆

Lecture 28 测地坐标，高斯引理和测地线局部最短性

Lecture 29 常高斯曲率曲面；测地三角形内角和

Lecture 30 局部Gauss-Bonnet公式

Lecture 31 整体Gauss-Bonnet公式

作业 1：验证三维欧式向量空间中外积运算的三条性质。

作业 2：Lecture 2, 18页，19页；教材[PC],13页，习题一，4和5.

作业 3：教材[PC], 28页，习题二，1，2，和 3.

作业 4：教材[PC], 28页，习题二，7，8，和 13.

作业 5：教材[PC], 28页，习题二，4(4)，6，11 和 12.

作业 6：教材[PC], 28页，习题二，5，9，10 和 16.

作业 7：教材[PC], 68页，习题三，1 （1）（5），3，4 和 5.

作业 8：阅读 Literature [1], 浏览 Literature [2].

     准则：好读书，不求甚解；每有会意，便欣然忘食。----陶渊明

作业 9：教材[PC], 68页，习题三，7，8（1），9，11，12.

作业 10：教材[PC], 68页，习题三，21（1）求单叶双曲面的高斯曲率.

作业 11：教材[PC], 68页，习题三，14, 17, 18.

作业 12：教材[PC], 68页，习题三，20, 31.

作业 13：教材[PC], 68页，习题三，25，28，29，30.

作业 14：教材[PC], 68页，习题三，21（2），23，24，27.

作业 15：教材[PC], 68页，习题三，26.

作业 16：教材[PC], 68页，习题三，34. 复习准备期中考试。

作业 17：教材[PC], 68页，习题三，32，33，35。

作业 18：复习准备期中考试。

作业 19：教材[PC], 102页，习题四，1，2，4。

作业 20：教材[PC], 证明78页的(2.27)式和(2.28)式；证明82页的(3.16)式和(3.17)式。102页，习题四，3，5.

作业 21：教材[PC], 102页，习题四，9，11，12.

作业 22：教材[PC], 102页，习题四，13，15.

作业 23：教材[PC], 102页，习题四，14，18. Lecture 23, 186页，189页.

作业 24：教材[PC], 102页，习题四，17，20.

作业 25：教材[PC], 149页，习题五，2，3.

作业 26：教材[PC], 149页，习题五 10，11. Lecture 26, 216页，证明性质 4.1.

作业 27：教材[PC], 149页，习题五 8，9，13.

作业 28：教材[PC], 149页，习题五 14.

作业 29：教材[PC], 149页，习题五 16，18，19.

作业 30：教材[PC], 149页，习题五 20，21.

作业 31：再读 Literature [1] 和 [2]，感受一下自己功力的增长.

[1] 高斯1827年文章曲面的一般研究的摘要 [Gauss]

[2] 高斯1827年文章曲面的一般研究 [Spivak II]

[3] 高斯测地的故事Gauss’s Great Triangle and the Shape of Space，ThatsMaths.

[4] Pierre Ossian Bonnet 和 Ernst Ferdinand Adolf Minding 的故事， MacTutor History of Mathematics archive, University of St Andrews.

[5] 陈省身1944年和1945年文章A simple intrinsic proof of the Gauss-Bonnet formula for closed Riemannian manifold 和 On the curvatura integra in a Riemannian manifold, Annals of Mathematics.

[Gauss] 高斯 (C. F. Gauss), 曲面的一般研究：1827年和1825年= General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825. 高等教育出版社。

[PC] 彭家贵，陈卿，微分几何，高等教育出版社。

[doC] M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Dover Publications, INC.

[Spivak II] Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, third edition, Publish or Perish.

[Spivak III] Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume III, third edition, Publish or Perish.

助教

刘弘毅 lhy195@mail.ustc.edu.cn

王首达 wsda@mail.ustc.edu.cn

习题课

从2017年9月16日（周六）开始，每周六晚上7:30, 教室为 3C101。

作业提交注意事项

1.分组：学号为JL开头的同学，以及学号以PB开头且数字部分小于等于15010425的同学，分为第一组，交给王首达。学号PB开头且数字部分大于15010425的同学，分为第二组，交给刘弘毅。当使用新的作业本时，请将分组以及学号姓名一并写在封面上。收发作业按照分组进行，作业有疑问或者需要复议，请在正课或习题课上找对应助教，或email联系助教。

2.时间：每周四上课时间提交。如果遇到意外需要迟交，请在周六晚习题课前上交，超过此期限将在正常评分基础上降低一档。

3.内容：每周作业请写且只写上一周的内容（即不写当周二的内容）。如果提前写了作业，请在其该交的时候进行说明（例如写“本次作业第二题上周已做，所以这次没写”），否则按照漏做处理。注意，作业内容以网页所登为标准。

4.其他：不要抄袭，雷同作业将同时获得”抄袭“的标注。