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1. Lecture room 5206: 2(09:45-11:20); 4(07:55-09:30).

第一讲 课程概述：曲面的弯曲。

第二讲 欧氏空间：向量运算；欧氏变换；向量分析；向量场和微分1-形式。

第三讲 欧氏空间上的微分形式和外微分运算。正则曲线。

第四讲 平面曲线：密切圆和曲率；Frenet标架和带符号曲率；一般参数计算公式；常曲率平面曲线。

第五讲 平面曲线基本定理；空间曲线：密切圆和密切平面；Frenet标架和曲率、挠率。

第六讲 挠率的几何意义；圆柱螺旋线；空间曲线基本定理。

第七讲 闭曲线全曲率问题；正则曲面：切平面；法向量；例子。

第八讲 第一基本形式；高斯曲率及第一个显示公式。

第九讲 高斯曲率和法曲率；欧拉公式。

第十讲 第二基本形式；Weigarten变换；高斯绝妙定理。

第十一讲 切映射和等距变换；环面的高斯曲率和全曲率；平均曲率和极小曲面。

第十二讲 曲面的局部外蕴几何；脐点。

第十三讲 旋转曲面：伪球面、悬链面。

第十四讲 直纹面：切线面、正螺面。

第十五讲 自然标架的运动方程；曲面结构方程。note1, note2

第十六讲 结构方程几何意义；曲面论基本定理。note

第十七讲 曲面正交活动标架引论。note

第十八讲 正交活动标架运动方程。note

第十九讲 曲面上的微分形式和外微分；正交活动标架结构方程。

第二十讲 欧氏空间的正交活动标架；常主曲率曲面。

第二十一讲 内蕴几何引论；测地线；测地曲率。

期中考试（第一至十六讲）。

第二十二讲 测地线方程；协变导数和平行移动。

第二十三讲 福柯摆和地球自转；法坐标系；高斯引理。

第二十四讲 测地线局部最短性；常高斯曲率曲面；测地三角形内角和。

第二十五讲 局部高斯博内定理。沿简单闭曲线平移切向量产生的角差。

第二十六讲 角度函数；旋转指数定理；整体高斯博内定理引论。

第二十七讲 空间中的光滑曲面；可定向性；整体高斯博内定理；处处非零光滑切向量场存在性。

第二十八讲 光滑切向量场的Poincare-Hopf定理；Jacobi曲线定理。

第二十九讲 球面的刚性：Liebmann定理。

第三十讲 卵形面的Hadamard定理；积分公式及其对球面刚性的应用。note

第三十一讲 卵形面的刚性：Cohn-Vossen定理。note

第三十二讲 Minkowski问题；（度量）完备曲面；Hilbert定理 (I)。note

第三十三讲 Hilbert定理 (II)；Willmore猜想。note

作业 1 无。

作业 2 课上留的题目。

作业 3 无。

作业 4 课上留的题目。

作业 5 [PC] 习题二 5（即课上留的题目），7，11，12。

作业 6 [PC] 习题二 15，16，20。

作业 7 平面闭曲线全曲率的探索；[PC] 习题三 3，5。

作业 8 [PC] 习题三 7，11。

作业 9 [PC] 习题三 12，18。

作业 10 [PC] 习题三 20，21（求单叶双曲面和环面的高斯曲率）。

作业 11 [PC] 习题三 22，25。

作业 12 [PC] 习题三 27，31。

作业 13 [PC] 习题三 32，35。

作业 14 作业题目。

作业 15 [PC] 习题四 1，2，3。

作业 16 作业题目；[PC] 习题四 9, 12。

作业 17 无。

作业 18 作业题目。

作业 19 [PC] 习题四 15，19。

作业 20 [PC] 习题四 16，17，20。

期中考试

作业 21 [PC] 习题五 11，12。

作业 22 [PC] 习题五 9，13，14，15。

作业 23 作业题目

作业 24 [PC] 习题五 16，18，19。

作业 25 [PC] 习题五 20，21。

作业 26 作业题目

作业 27 作业题目

作业 28 作业题目

作业 29 作业题目

作业 30 作业题目

作业 31 作业题目

作业 32 作业题目

作业 33 作业题目

[Gauss] 高斯 (C. F. Gauss), 曲面的一般研究：1827年和1825年= General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825. 高等教育出版社。

[PC] 彭家贵，陈卿，微分几何，高等教育出版社。

[Spivak II] Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, third edition, Publish or Perish.

[Spivak III] Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume III, third edition, Publish or Perish.

[ONeill] Barrett O'Neill, Elementary differential geometry, Academic Press. pdf file

[doC] M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Dover Publications, INC.

李轩宇 lixuanyu@mail.ustc.edu.cn