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Differential Geometry (H)

(Fall 2022)


Notices

2

1. Lecture room 5206: 2(09:45-11:20); 4(07:55-09:30).


Lectures and excercises

第一讲 课程概述:曲面的弯曲。

第二讲 欧氏空间:向量运算;欧氏变换;向量分析;向量场和微分1-形式。

第三讲 欧氏空间上的微分形式和外微分运算。正则曲线。

第四讲 平面曲线:密切圆和曲率;Frenet标架和带符号曲率;一般参数计算公式;常曲率平面曲线。

第五讲 平面曲线基本定理;空间曲线:密切圆和密切平面;Frenet标架和曲率、挠率。

第六讲 挠率的几何意义;圆柱螺旋线;空间曲线基本定理。

第七讲 闭曲线全曲率问题;正则曲面:切平面;法向量;例子。

第八讲 第一基本形式;高斯曲率及第一个显示公式。

第九讲 高斯曲率和法曲率;欧拉公式。

第十讲 第二基本形式;Weigarten变换;高斯绝妙定理。

第十一讲 切映射和等距变换;环面的高斯曲率和全曲率;平均曲率和极小曲面。

第十二讲 曲面的局部外蕴几何;脐点。

第十三讲 旋转曲面:伪球面、悬链面。

第十四讲 直纹面:切线面、正螺面。

第十五讲 自然标架的运动方程;曲面结构方程。note1, note2

第十六讲 结构方程几何意义;曲面论基本定理。note

第十七讲 曲面正交活动标架引论。note

第十八讲 正交活动标架运动方程。note

第十九讲 曲面上的微分形式和外微分;正交活动标架结构方程。

第二十讲 欧氏空间的正交活动标架;常主曲率曲面。

第二十一讲 内蕴几何引论;测地线;测地曲率。

期中考试(第一至十六讲)。

第二十二讲 测地线方程;协变导数和平行移动。

第二十三讲 福柯摆和地球自转;法坐标系;高斯引理。

第二十四讲 测地线局部最短性;常高斯曲率曲面;测地三角形内角和。

第二十五讲 局部高斯博内定理。沿简单闭曲线平移切向量产生的角差。

第二十六讲 角度函数;旋转指数定理;整体高斯博内定理引论。

第二十七讲 空间中的光滑曲面;可定向性;整体高斯博内定理;处处非零光滑切向量场存在性。

第二十八讲 光滑切向量场的Poincare-Hopf定理;Jacobi曲线定理

第二十九讲 球面的刚性:Liebmann定理

第三十讲 卵形面的Hadamard定理;积分公式及其对球面刚性的应用note

第三十一讲 卵形面的刚性:Cohn-Vossen定理note

第三十二讲 Minkowski问题;(度量)完备曲面;Hilbert定理 (I)note

第三十三讲 Hilbert定理 (II);Willmore猜想note

作业 1 无。

作业 2 课上留的题目。

作业 3 无。

作业 4 课上留的题目。

作业 5 [PC] 习题二 5(即课上留的题目),7,11,12。

作业 6 [PC] 习题二 15,16,20。

作业 7 平面闭曲线全曲率的探索;[PC] 习题三 3,5。

作业 8 [PC] 习题三 7,11。

作业 9 [PC] 习题三 12,18。

作业 10 [PC] 习题三 20,21(求单叶双曲面和环面的高斯曲率)。

作业 11 [PC] 习题三 22,25。

作业 12 [PC] 习题三 27,31。

作业 13 [PC] 习题三 32,35。

作业 14 作业题目

作业 15 [PC] 习题四 1,2,3。

作业 16 作业题目;[PC] 习题四 9, 12。

作业 17 无。

作业 18 作业题目

作业 19 [PC] 习题四 15,19。

作业 20 [PC] 习题四 16,17,20。

期中考试

作业 21 [PC] 习题五 11,12。

作业 22 [PC] 习题五 9,13,14,15。

作业 23 作业题目

作业 24 [PC] 习题五 16,18,19。

作业 25 [PC] 习题五 20,21。

作业 26 作业题目

作业 27 作业题目

作业 28 作业题目

作业 29 作业题目

作业 30 作业题目

作业 31 作业题目

作业 32 作业题目

作业 33 作业题目


References

[Gauss] 高斯 (C. F. Gauss), 曲面的一般研究:1827年和1825年= General Investigations of Curved Surfaces of 1827 and 1825. 高等教育出版社。

[PC] 彭家贵,陈卿,微分几何,高等教育出版社。

[Spivak II] Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume II, third edition, Publish or Perish.

[Spivak III] Michael Spivak, A comprehensive introduction to differential geometry, Volume III, third edition, Publish or Perish.

[ONeill] Barrett O'Neill, Elementary differential geometry, Academic Press. pdf file

[doC] M. P. do Carmo, Differential geometry of curves and surfaces, Dover Publications, INC.


Tutorials

助教

李轩宇 lixuanyu@mail.ustc.edu.cn